Первообразная 1/x

Вычисляя первообразную от ${\frac {1}{x}}$, следует быть внимательным и, по возможности, иметь шпаргалку.

Парадокс

Принято считать, что первообразной для функции ${\frac {1}{x}}$ является функция $ln{x}$.

Но как известно, первообразной для функции $x^{\alpha }$ функция ${\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}$. Для функции ${\frac {1}{x}}=x^{-1}$, таким образом, первообразной является ${\frac {x^{-1+1}}{-1+1}}={\frac {x^{0}}{0}}={\frac {1}{0}}$.

Из этого следует, что $ln{x}={\frac {1}{0}}$ при любом $x$.

Решение противоречия

При нахождении первообразной функции к ней всегда можно прибавить любую константу. Запишем первообразную функции $x^{\alpha }$ как ${\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}-{\frac {1}{\alpha +1}}={\frac {x^{\alpha +1}-1}{\alpha +1}}$. Записанная в таком виде первообразная при ${\alpha \to -1}$ представляет собой неопределённость ${\frac {0}{0}}$, а значит, её можно разрешить с помощью правила Лопиталя:$\lim _{\alpha \to -1}{\frac {x^{\alpha +1}-1}{\alpha +1}}=\lim _{\alpha \to -1}{\frac {x^{\alpha +1}\cdot \ln {x}}{1}}={\frac {1\cdot \ln {x}}{1}}=\ln {x}$

Из этого следует, что никакого противоречия нет. $\ln {x}={\frac {1}{0}}+const={\frac {1}{0}}-{\frac {1}{0}}={\frac {0}{0}}$, а неопределённость ${\frac {0}{0}}$ может быть равна чему угодно, в том числе и $\ln {x}$.

См. также

• Деление на ноль