Доказательство теоремы Пифагора

Прямоугольный треугольник

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами катетами a и b, а также гипотенузой c и острым углом A, противолежащим катету a. Получим $a=c\sin {A}$, $b=c\cos {A}$. Можно написать, что $a^{2}=c^{2}\sin ^{2}{A}$ и $b^{2}=c^{2}\cos ^{2}{A}$. Сложим $a^{2}$ и $b^{2}$, получим: $a^{2}+b^{2}=c^{2}\sin ^{2}{A}+c^{2}\cos ^{2}{A}=c^{2}(\sin ^{2}{A}+\cos ^{2}{A})$. Но известно, что $\sin ^{2}{A}+\cos ^{2}{A}=1$, таким образом, $a^{2}+b^{2}=c^{2}\cdot 1=c^{2}$.
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ — так и формулируется теорема Пифагора.

Почему же это софизм?

Выражение $\sin ^{2}{A}+\cos ^{2}{A}=1$ как раз доказывается из теоремы Пифагора, поэтому мы не можем использовать его для данного доказательства.