Основная теорема арифметики

Эта статья является статьёй проекта «Простые числа» Вы можете помочь проекту, развив и дополнив её.

Основная теорема арифметики утверждает:

Каждое натуральное число $n>1$ представляется в виде $n=p_{1}\cdot \dots \cdot p_{k}$, где $p_{1},\dots ,p_{k}$ — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».

Как следствие, каждое натуральное число $n$ единственным образом представимо в виде

$n=p_{1}^{d_{1}}\cdot p_{2}^{d_{2}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{d_{k}},$ где $p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}$ — простые числа, и $d_{1},\dots ,d_{k}$ — некоторые натуральные числа.

Такое представление числа $n$ называется его каноническим разложением на простые сомножители.

Следствия

• Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Доказательство

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на лемму Евклида:

Если простое число $p$ делит без остатка произведение двух целых чисел $x\cdot y$, то $p$ делит $x$ или $y$.

Существование. Пусть $n$ — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если $n$ составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, $n$ тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть $n$ — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть $p$ — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если $p$ входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на $p$ и получить два разных разложения числа $n/p$, что невозможно. А если $p$ не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на $p$, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

История

В «Началах» Евклида эта теорема отсутствует. Вероятно тогда (и позднее) она воспринималась как самоочевидный факт. Первая её точная формулировка и доказательство приводятся в книге К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования», изданной в 1801 году.