Парадокс интересных чисел

Парадокс интересных чисел — полуюмористический парадокс, который возникает из-за попыток классифицировать натуральные числа как «интересные» и «скучные». Парадокс заключается в том, что все натуральные числа являются интересными. «Доказательство» является противоречивым: если бы было «неинтересное» число, было бы и самое маленькое неинтересное число, но самое маленькое неинтересное число само по себе является интересным — именно это и создаёт противоречие.

Доказательство

Утверждение: Нет такого понятия, как неинтересное натуральное число.

Доказательство от противного: предположим, что у вас есть непустое множество натуральных чисел, которые не интересны. В связи с вполне упорядоченным множеством свойств натуральных чисел, должны быть некоторые самые маленькие числа в ряде неинтересных чисел. Будучи самым маленьким числом этого ряда, можно посчитать неинтересность делает этот номер в конце концов интересным, что и является противоречием.

Парадоксальный характер

Попытки классифицировать все числа таким образом ведёт к парадоксу или антимонии определения. Любой гипотетический раздел натуральных чисел на «интересные» и «скучные» множества ведёт к провалу. Поскольку определение интересно, как правило, субъективно, интуитивно понятие «интересно» следует понимать как полу-юмористическое применение самореференции, чтобы получить парадокс. (Парадокс облегчается, если «интересно» вместо этого объективно: к примеру, как июня 2009, самое маленькое число, которое не имеет своего собственного в Википедии — 215, а наименьшее число, которое не появляется в издании On-line энциклопедия целочисленных последовательностей — 12407)

Тем не менее, так как есть много значительных результатов в области математики, которые используют самоуправления полномочий (таких, как теорема Гёделя о неполноте), парадокс иллюстрирует один из примеров самореференции, и, таким образом, затрагивает серьёзные проблемы во многих областях исследований.

Эта версия парадокса распространяется только на вполне упорядоченные множества с естественным порядком, такие, как натуральные числа; аргумент не будет применяться в отношении действительных чисел.

Одно из предложенных решений парадокса утверждает, что только первое число неинтересных сделано интересным уже этим обстоятельством. К примеру, если 39 и 41 были бы двумя неинтересными числами, тогда 39 сало бы интересным как результат, но 41 стало бы с того времени уже не первым неинтересным числом. Однако это решение является недействительным с тех пор, как было доказано, что в парадоксе есть противоречие: если предположить, что какие-то числа неинтересны, мы приходим в тому, что то же число интересен, следовательно, число не может быть неинтересным, его целью не является, в частности, выявление интересных или неинтересных чисел, но полагать ли, что каждое число может в действительности обладать такими свойствами.

Очевидные слабости в доказательство, что квалификация «интересные» не определёно. Однако, считая это, предикат определяется с конечным определённым списком «неинтересных свойств натуральных чисел», и определяется утверждение с конечным, бесконечным списком «интересных свойств натуральных чисел», и определяется самореференциально, чтобы включить наименьшее число не в такой список, возникает парадокс. Парадокс Берри тесно связан, поскольку он поднимается из аналогичного самореференциальное определение. Как парадокс заключается в определённом мнении по поводу чисел: если по одному из мнений все числа скучны, и кто-то находит неинтересным наблюдение, что 0 является наименьшим скучным номером, не является парадоксом.

Литература

• Martin Gardner, Mathematical Puzzles and Diversions, 1959 (ISBN 0-226-28253-8)