0=1

Известно много методов доказательства утверждения о равенстве чисел 0 и 1.

Метод степеней единицы

Как известно, $1^{a}=1$, таким образом, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 1^{1}=1^{0}=1} . Но, если равны основания степеней и их значения, то равны и показатели, то есть Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} , что и требовалось доказать.

Метод умножения

Справедливо равенство Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0*0=0*1} . Поделим это выражение на $0$. Получим: Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {0}{0}}\cdot 0={\frac {0}{0}}\cdot 1} , отсюда выходит, что Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} .

Но есть одна загвоздка: на 0 делить нельзя.

Упрощённый метод умножения

Дано: $0\cdot 0=0\cdot 1$. Так как $0=0$, то Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} .

Факториальный метод

Обычно факториалы разных чисел имеют разное значение. Однако Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0!=1} и $1!=1$, то есть Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0!=1!} . Ссылаясь на ранее написанное, можно сказать, что Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} .

Метод вынесения множителей

Справедливо равенство Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 2:2=3:3} . Вынесем общий множитель: Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 2(1:1)=3(1:1)} . Сократим: Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 2=3} . Вычтем 2 и получим искомое равенство.

Метод деления

Допустим, что есть некое равенство $a-b=0$. А теперь поделим каждую сторону на $a-b$. Получим: Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {a-b}{a-b}}={\frac {0}{a-b}}} , или $1=0$.

Метод логарифмирования

Согласно формулам, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle log_{a}a=1} и Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle log_{a}1=0} . Подставим $a=1$. Получим: из первой формулы $log_{1}1=1$, но из второй формулы Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle log_{1}1=0} . Это значит, что Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} , что требовалось доказать.

Тригонометрический метод 1

$sin0=sin\pi$, отсюда вытекает, что Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=\pi } , $0\pi =1\pi$, а это значит, что Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} , что и требовалось доказать.

Тригонометрический метод 2

Метод, подобный предыдущему. Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle tg0=tg\pi } , значит, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=\pi } , $0\pi =1\pi$, и в конце концов Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} .

Тригонометрический метод 3

Метод, напоминающий два предыдущих. Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle cosec0=cosec\pi } , таким образом, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=\pi } , или $0\pi =1\pi$, откуда вытекает искомое равенство Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} .

Тригонометрический метод 4

$cos{\frac {\pi }{2}}=cos{\frac {3\pi }{2}}$, следственно ${\frac {\pi }{2}}={\frac {3\pi }{2}}$, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 3=2} , откуда выходит, что Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} .

Тригонометрический метод 5

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle ctg{\frac {\pi }{2}}=ctg{\frac {3\pi }{2}}} , значит, ${\frac {\pi }{2}}={\frac {3\pi }{2}}$, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 3=2} и Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} , что и требовалось доказать.

Тригонометрический метод 6

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle sec{\frac {\pi }{2}}=sec{\frac {3\pi }{2}}} , таким образом получаем, что ${\frac {\pi }{2}}={\frac {3\pi }{2}}$, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 3=2} , следственно,Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} .

Тригонометрический метод 7

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle sin{\frac {\pi }{4}}=cos{\frac {\pi }{4}}} , откуда можно предположить, что Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle sin0=cos0} , значит, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} .

Тригонометрический метод 8

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle sin{\frac {\pi }{4}}=cos{\frac {\pi }{4}}} , следственно, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle sin{\frac {\pi }{2}}=cos{\frac {\pi }{2}}} , и, таким образом, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} , что и следовало доказать.

Метод производных

Как известно, $x'=1$ при любом $x$. Но, подставив вместо $x$, получаем, что производная становится равной 0. Следственно, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0=1} .

Алгебраический метод

Рассмотрим равенство Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle a=b+c} . Умножим обе его части на $a-b$. Получим: $a^{2}-ab=ab+ac-b^{2}-bc$, то есть Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle a^{2}-ab-ac=ab-b^{2}-bc} . Разложим на множители, получим Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle a(a-b-c)=b(a-b-c)} , сокращаем, получаем $a=b$. То есть, подставив $a=1$, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle b=0} , получим требуемое равенство. Впрочем, этот метод годится для доказательства равенства всех чисел.

Иррациональный метод

Докажем сначала, что $1=-1$. Понятно, что Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1}}} . Представим в левой части равенства Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle -1={\frac {-1}{1}}} , а в правой $-1={\frac {1}{-1}}$. Получим Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}} . Известно, что корень из дроби есть корень из числителя делённый на корень из знаменателя. Поэтому Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}} . По свойству пропорции: Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {1}}} . Следовательно, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle -1=1} . Прибавив к обеим частям равенства 1 и разделив их на 2, получим требуемое равенство $0=1$.

Геометрический метод 1

Равные треугольники

Рассмотрим два треугольника, представленных на рисунке. Площадь первого треугольника равна 60 клеточкам, а площадь второго треугольника, составленного из тех же фигур, что и первый треугольник, равна 58 клеточкам (две чёрные клетки внутри вырезаны). Получается, что Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 58=60} . Отнимем от обеих частей равенства 58 и разделим на 2, получим Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {58-58}{2}}={\frac {60-58}{2}}} , то есть $0=1$, что и требовалось доказать.

Метод бесконечных рядов

Докажем, что $1=-1$, только иначе.

Рассмотрим сумму бесконечного ряда Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle S=1+1-1+1-1+1-1...} . Представим её в виде $S=1+(1-1)+(1-1)+(1-1)...=1+0+0+0...=1$. Теперь представим S теми же слагаемыми, но начиная с последнего. Имеем Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle S=-1+1-1+1-1+1-1=-1+(1-1)+(1-1)+(1-1)=-1+0+0+0=-1} , то есть Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle S=1=-1} , значит $1=-1$, откуда, как доказано выше, вытекает, что $1=0$.

Метод мнимых единиц

Метод, предложенный канадскими учёными. Понятно, что Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {-1}{1}}={\frac {1}{-1}}} . Значит, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}} . Значит, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}} . Так как Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\sqrt {-1}}=i} , запишем равенство следующим образом: Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {i}{1}}={\frac {1}{i}}} . Разделим обе части на 2, получим ${\frac {i}{2}}={\frac {1}{2i}}$. Далее, прибавим к обеим частям равенства выражение Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {3}{2i}}} , получим Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {i}{2}}+{\frac {3}{2i}}={\frac {1}{2i}}+{\frac {3}{2i}}} . Теперь умножим обе части на $i$, получим Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle i({\frac {i}{2}}+{\frac {3}{2i}})=i({\frac {1}{2i}}+{\frac {3}{2i}})} , раскроем скобки: Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://en.wikipedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {i^{2}}{2}}+{\frac {3i}{2i}}={\frac {i}{2i}}+{\frac {3i}{2i}}} . Так как $i^{2}=-1$, получаем Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{-1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} . Посчитав, получим, что Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1=2} , а отняв Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} , найдем требуемое равенство: Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0=1} .