Обсуждение:1 в степени бесконечность

Что-то там не то

Может там должно быть $\lim _{x\to \infty }{1^{x}}=\lim _{x\to \infty }{1\cdot 1^{x-1}}$ ? --Alokrot 10:09, апреля 12, 2010 (UTC)

Да, действительно. Только $\lim _{x\to \infty }{1^{x}}=\lim _{x\to \infty }{x\cdot 1^{x-1}}$. — José Monteiro 13:20, апреля 12, 2010 (UTC)

Не верю!!! $1^{x}$ — это почти единица, а вот $x\cdot 1^{x-1}$ — это уже много. Там с логарифмами, наверное, надо побаловаться. --Alokrot 10:11, апреля 13, 2010 (UTC)

Правило Лопиталя: $\lim _{x\to a+}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a+}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Но т.к. $g(x)=1$, т.е. число, то берём $g'(x)=g(x)=1.$ $a+$ в данном случае — это $\infty$. А где тут могут быть логарифмы? — José Monteiro 12:27, апреля 13, 2010 (UTC)

Посмотрите правило Лопиталя. Там f(x) и g(x) должны стремиться к нулю или бесконечности, тогда "дельты" этих фукций начинают стремиться к производным от этих функций. --Alokrot 08:59, апреля 16, 2010 (UTC)

У Вас есть своё доказательство? — José Monteiro 13:09, апреля 16, 2010 (UTC)

На этой неделе вряд ли получится, но на следующей постараюсь найти. --Alokrot 07:02, апреля 17, 2010 (UTC)

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\tiny»): {\displaystyle \lim_{\tiny \begin{array}{c} x\to 1 \\ f\to \infty \end{array}}{1^x}=\lim_{x\to \infty}{1 \cdot 1^{x-1}}}

Проба объяснения

Задача $1^{\infty }$ правильно уточняется в виде Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\substack»): {\displaystyle \lim_{\substack{ x\to 1 \\ f(x)\to +\infty }}{x^{f(x)}}} . Тогда можно написать, что

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\substack»): {\displaystyle \lim_{\substack{ x\to 1 \\ f(x)\to +\infty }}{x^{f(x)}} = \lim_{\substack{ x\to 1 \\ f(x)\to +\infty }}e^{\ln {x^{f(x)}}} = \lim_{\substack{ x\to 1 \\ f(x)\to +\infty }}e^{f(x) \cdot \ln x}}

Значение последнего выражения фактически зависит от

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\substack»): {\displaystyle \lim_{\substack{ x\to 1 \\ f(x)\to +\infty }}{f(x) \cdot \ln x}} — а значит сводится к неопределённости вида $\infty \cdot 0$

--Alokrot 02:06, апреля 20, 2010 (UTC)

Первое: я полагаю, что во втором пределе Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\substack»): {\displaystyle \lim_{\substack{ x\to 1 \\ f(x)\to +\infty }}e^{\ln {x^{f(x)}}}} выражение $e^{\ln {x}}$ следует взять в скобки, т.е. должно быть Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\substack»): {\displaystyle \lim_{\substack{ x\to 1 \\ f(x)\to +\infty }}(e^{\ln {x}})^{^{f(x)}}} .

Второе: выходит, задача усложняется новыми неопределённостями $0\cdot \infty$ и $e^{\infty }$. Как быть с ними? Ведь их тоже придётся доказывать, что может сделать статью громоздкой. — José Monteiro 12:21, апреля 20, 2010 (UTC)

Ну я здесь, если честно, ни черта не понял, ну да ладно. Суть в том, что статья может быть сколь угодно большого размера, если требуется. Не стоит пугаться громоздскости серьёзной статьи. ГиМЦ-Д 15:08, апреля 20, 2010 (UTC)

Я не пугаюсь громоздкости статьи, просто мы отойдём от темы и, в лучшем случае придётся это рассматривать как стимул к созданию новых похожих одна на другую статей. — José Monteiro 14:13, апреля 21, 2010 (UTC)

1. Так эти же формулы равны из-за того, что ${(x^{a})}^{b}=x^{b\cdot a}$.
2. $e^{\infty }$ там вроде бы нет — есть "e" в степени "неопределённость". А вот от неопределённости $0\cdot \infty$ уже невозможно избавиться (разве что свести к неопределённостям ноль-на-ноль или бесконечность-на-бесконечность). Фактически, наша исходная неопределёность зависит от соотношения "скоростей", с которыми стремятся f(x) к бесконечности и $\ln x$ к нулю. Например, если $f(x)=1/\ln x$, то для случая $\lim _{x\to 1}{x^{1/\ln x}}$ можно будет сказать, что это выражение $\lim _{x\to 1}{x^{1/\ln x}}=e^{1}=e$. --Alokrot 16:17, апреля 20, 2010 (UTC)

1. ${(x^{a})}^{b}=x^{b\cdot a}$, но я обратил внимание, что были опущены скобки, а, насколько мне известно, $({x^{a}})^{b}\neq {{x^{a}}^{b}}$.
2. Насчёт $e^{\infty }$, я немного ошибся, спутал формулы.
3. А почему Вы считаете, что $\lim _{x\to 1}{x^{1/\ln x}}=e^{1}=e$? Кстати, если это правильное выражение, то Вы получили третий вариант ответа на вопрос, заложенный в теме статьи. — José Monteiro 14:13, апреля 21, 2010 (UTC)

 1.  А-а, понятно — я написал Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\substack»): {\displaystyle \lim_{\substack{ x\to 1 \\ f(x)\to +\infty }}e^{\ln {x^{f(x)}}}} подразумевая Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\substack»): {\displaystyle \lim_{\substack{ x\to 1 \\ f(x)\to +\infty }}e^{\ln (x^{f(x)})}} .

 3.  $\lim _{x\to 1}{x^{1/\ln x}}=\lim _{x\to 1}{e^{\ln(x^{1/\ln x})}}=\lim _{x\to 1}{e^{(1/\ln x)\cdot \ln x}}=e^{1}=e$. Только там пределы, похоже, уже не особо и нужны были :-D

Вопросов нет. Выкладывайте, наверное, п.3 в статью. :-) — José Monteiro 12:14, апреля 22, 2010 (UTC)

Можем подвести итог: все методы имеют право на жизнь и могут быть опубликованы, если они правильны и/или не вызывают подозрений :-) . Ув. Alokrot, можете выложить методы решения $1^{\infty }$ из второго раздела страницы обсуждения в статью отдельными разделами. :-) — José Monteiro 12:14, апреля 22, 2010 (UTC)