1 в степени бесконечность

$1^{\infty }$ — это один из примеров математической неопределённости.

Парадокс

Парадокс заключается в том, что любая степень единицы равна самой единице: $1^{a}=1$. Следственно, и $1^{\infty }=1$. Таким образом, это не должно быть неопределённостью.

Так почему же это является неопределённостью?

$1^{\infty }$ — это неформальная запись предела $\lim _{(x;y)\to (1;+\infty )}{x^{y}}$. Если сначала устремить $x$ к $1$, а потом уже $y$ к $+\infty$, то получится действительно $1$. Но если сначала устремить $y$ к $+\infty$, а потом $x$ к $1$ сверху, то получится $+\infty$. А если сначала устремить $y$ к $+\infty$, а потом $x$ к $1$ снизу, то получится $0$. Сам же предел $\lim _{(x;y)\to (1;+\infty )}{x^{y}}$ может принимать любые значения от $0$ до $+\infty$, например, $\lim _{x\to +\infty }{(1+1/x)^{x}}=e=2,71...$