|
|
Это — материал по матсофистике.
|
|
|
Большую часть статьи составляют материалы собственного авторства.
|
|
|
|
Известно много методов доказательства утверждения о равенстве чисел 0 и 1.
Метод степеней единицы[править]
Как известно,
, таким образом,
. Но, если равны основания степеней и их
значения, то равны и показатели, то есть
, что и требовалось доказать.
Метод умножения[править]
Справедливо равенство
. Поделим это выражение на
. Получим:
, отсюда выходит, что
.
Но есть одна загвоздка: на 0 делить нельзя.
Упрощённый метод умножения[править]
Дано:
. Так как
, то
.
Факториальный метод[править]
Обычно факториалы разных чисел имеют разное значение. Однако
и
, то есть
. Ссылаясь на ранее написанное, можно сказать, что
.
Метод вынесения множителей[править]
Справедливо равенство
. Вынесем общий множитель:
. Сократим:
.
Вычтем 2 и получим искомое равенство.
Метод деления[править]
Допустим, что есть некое равенство
. А теперь поделим каждую сторону на
. Получим:
, или
.
Метод логарифмирования[править]
Согласно формулам,
и
. Подставим
. Получим: из первой формулы
, но из второй формулы
. Это значит, что
, что требовалось доказать.
Тригонометрический метод 1[править]
, отсюда вытекает, что
,
, а это значит, что
, что и требовалось доказать.
Тригонометрический метод 2[править]
Метод, подобный предыдущему.
, значит,
,
, и в конце концов
.
Тригонометрический метод 3[править]
Метод, напоминающий два предыдущих.
, таким образом,
, или
, откуда вытекает искомое равенство
.
Тригонометрический метод 4[править]
, следственно
,
, откуда выходит, что
.
Тригонометрический метод 5[править]
, значит,
,
и
, что и требовалось доказать.
Тригонометрический метод 6[править]
, таким образом получаем, что
,
, следственно,
.
Тригонометрический метод 7[править]
, откуда можно предположить, что
, значит,
.
Тригонометрический метод 8[править]
, следственно,
, и, таким образом,
, что и следовало доказать.
Метод производных[править]
Как известно,
при любом
. Но, подставив вместо
, получаем, что производная становится равной 0. Следственно,
.
Алгебраический метод[править]
Рассмотрим равенство
. Умножим обе его части на
. Получим:
, то есть
. Разложим на множители, получим
, сокращаем, получаем
. То есть, подставив
,
, получим требуемое равенство. Впрочем, этот метод годится для доказательства равенства всех чисел.
Иррациональный метод[править]
Докажем сначала, что
. Понятно, что
. Представим в левой части равенства
, а в правой
. Получим
. Известно, что корень из дроби есть корень из числителя делённый на корень из знаменателя. Поэтому
. По свойству пропорции:
. Следовательно,
. Прибавив к обеим частям равенства 1 и разделив их на 2, получим требуемое равенство
.
Геометрический метод 1[править]
Рассмотрим два треугольника, представленных на рисунке. Площадь первого треугольника равна 60 клеточкам, а площадь второго треугольника, составленного из тех же фигур, что и первый треугольник, равна 58 клеточкам (две чёрные клетки внутри вырезаны). Получается, что
. Отнимем от обеих частей равенства 58 и разделим на 2, получим
, то есть
, что и требовалось доказать.
Метод бесконечных рядов[править]
Докажем, что
, только иначе.
Рассмотрим сумму бесконечного ряда
. Представим её в виде
. Теперь представим S теми же слагаемыми, но начиная с последнего. Имеем
, то есть
, значит
, откуда, как доказано выше, вытекает, что
.
Метод мнимых единиц[править]
Метод, предложенный канадскими учёными. Понятно, что
. Значит,
. Значит,
. Так как
, запишем равенство следующим образом:
. Разделим обе части на 2, получим
. Далее, прибавим к обеим частям равенства выражение
, получим
. Теперь умножим обе части на
, получим
, раскроем скобки:
. Так как
, получаем
. Посчитав, получим, что
, а отняв
, найдем требуемое равенство:
.