0=1

Известно много методов доказательства утверждения о равенстве чисел 0 и 1.

Метод степеней единицы

Как известно, $1^{a}=1$, таким образом, $1^{1}=1^{0}=1$. Но, если равны основания степеней и их значения, то равны и показатели, то есть $0=1$, что и требовалось доказать.

Метод умножения

Справедливо равенство $0*0=0*1$. Поделим это выражение на $0$. Получим: ${\frac {0}{0}}\cdot 0={\frac {0}{0}}\cdot 1$, отсюда выходит, что $0=1$.

Но есть одна загвоздка: на 0 делить нельзя.

Упрощённый метод умножения

Дано: $0\cdot 0=0\cdot 1$. Так как $0=0$, то $0=1$.

Факториальный метод

Обычно факториалы разных чисел имеют разное значение. Однако $0!=1$ и $1!=1$, то есть $0!=1!$. Ссылаясь на ранее написанное, можно сказать, что $0=1$.

Метод вынесения множителей

Справедливо равенство $2:2=3:3$. Вынесем общий множитель: $2(1:1)=3(1:1)$. Сократим: $2=3$. Вычтем 2 и получим искомое равенство.

Метод деления

Допустим, что есть некое равенство $a-b=0$. А теперь поделим каждую сторону на $a-b$. Получим: ${\frac {a-b}{a-b}}={\frac {0}{a-b}}$, или $1=0$.

Метод логарифмирования

Согласно формулам, $log_{a}a=1$ и $log_{a}1=0$. Подставим $a=1$. Получим: из первой формулы $log_{1}1=1$, но из второй формулы $log_{1}1=0$. Это значит, что $0=1$, что требовалось доказать.

Тригонометрический метод 1

$sin0=sin\pi$, отсюда вытекает, что $0=\pi$, $0\pi =1\pi$, а это значит, что $0=1$, что и требовалось доказать.

Тригонометрический метод 2

Метод, подобный предыдущему. $tg0=tg\pi$, значит, $0=\pi$, $0\pi =1\pi$, и в конце концов $0=1$.

Тригонометрический метод 3

Метод, напоминающий два предыдущих. $cosec0=cosec\pi$, таким образом, $0=\pi$, или $0\pi =1\pi$, откуда вытекает искомое равенство $0=1$.

Тригонометрический метод 4

$cos{\frac {\pi }{2}}=cos{\frac {3\pi }{2}}$, следственно ${\frac {\pi }{2}}={\frac {3\pi }{2}}$, $3=2$, откуда выходит, что $0=1$.

Тригонометрический метод 5

$ctg{\frac {\pi }{2}}=ctg{\frac {3\pi }{2}}$, значит, ${\frac {\pi }{2}}={\frac {3\pi }{2}}$, $3=2$ и $0=1$, что и требовалось доказать.

Тригонометрический метод 6

$sec{\frac {\pi }{2}}=sec{\frac {3\pi }{2}}$, таким образом получаем, что ${\frac {\pi }{2}}={\frac {3\pi }{2}}$, $3=2$, следственно,$0=1$.

Тригонометрический метод 7

$sin{\frac {\pi }{4}}=cos{\frac {\pi }{4}}$, откуда можно предположить, что $sin0=cos0$, значит, $0=1$.

Тригонометрический метод 8

$sin{\frac {\pi }{4}}=cos{\frac {\pi }{4}}$, следственно, $sin{\frac {\pi }{2}}=cos{\frac {\pi }{2}}$, и, таким образом, $0=1$, что и следовало доказать.

Метод производных

Как известно, $x'=1$ при любом $x$. Но, подставив вместо $x$, получаем, что производная становится равной 0. Следственно, $0=1$.

Алгебраический метод

Рассмотрим равенство $a=b+c$. Умножим обе его части на $a-b$. Получим: $a^{2}-ab=ab+ac-b^{2}-bc$, то есть $a^{2}-ab-ac=ab-b^{2}-bc$. Разложим на множители, получим $a(a-b-c)=b(a-b-c)$, сокращаем, получаем $a=b$. То есть, подставив $a=1$, $b=0$, получим требуемое равенство. Впрочем, этот метод годится для доказательства равенства всех чисел.

Иррациональный метод

Докажем сначала, что $1=-1$. Понятно, что ${\sqrt {-1}}={\sqrt {-1}}$. Представим в левой части равенства $-1={\frac {-1}{1}}$, а в правой $-1={\frac {1}{-1}}$. Получим ${\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}$. Известно, что корень из дроби есть корень из числителя делённый на корень из знаменателя. Поэтому ${\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}$. По свойству пропорции: ${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {1}}$. Следовательно, $-1=1$. Прибавив к обеим частям равенства 1 и разделив их на 2, получим требуемое равенство $0=1$.

Геометрический метод 1

Равные треугольники

Рассмотрим два треугольника, представленных на рисунке. Площадь первого треугольника равна 60 клеточкам, а площадь второго треугольника, составленного из тех же фигур, что и первый треугольник, равна 58 клеточкам (две чёрные клетки внутри вырезаны). Получается, что $58=60$. Отнимем от обеих частей равенства 58 и разделим на 2, получим ${\frac {58-58}{2}}={\frac {60-58}{2}}$, то есть $0=1$, что и требовалось доказать.

Метод бесконечных рядов

Докажем, что $1=-1$, только иначе.

Рассмотрим сумму бесконечного ряда $S=1+1-1+1-1+1-1...$. Представим её в виде $S=1+(1-1)+(1-1)+(1-1)...=1+0+0+0...=1$. Теперь представим S теми же слагаемыми, но начиная с последнего. Имеем $S=-1+1-1+1-1+1-1=-1+(1-1)+(1-1)+(1-1)=-1+0+0+0=-1$, то есть $S=1=-1$, значит $1=-1$, откуда, как доказано выше, вытекает, что $1=0$.

Метод мнимых единиц

Метод, предложенный канадскими учёными. Понятно, что ${\frac {-1}{1}}={\frac {1}{-1}}$. Значит, ${\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}$. Значит, ${\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}$. Так как ${\sqrt {-1}}=i$, запишем равенство следующим образом: ${\frac {i}{1}}={\frac {1}{i}}$. Разделим обе части на 2, получим ${\frac {i}{2}}={\frac {1}{2i}}$. Далее, прибавим к обеим частям равенства выражение ${\frac {3}{2i}}$, получим ${\frac {i}{2}}+{\frac {3}{2i}}={\frac {1}{2i}}+{\frac {3}{2i}}$. Теперь умножим обе части на $i$, получим $i({\frac {i}{2}}+{\frac {3}{2i}})=i({\frac {1}{2i}}+{\frac {3}{2i}})$, раскроем скобки: ${\frac {i^{2}}{2}}+{\frac {3i}{2i}}={\frac {i}{2i}}+{\frac {3i}{2i}}$. Так как $i^{2}=-1$, получаем ${\frac {-1}{2}}+{\frac {3}{2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}$. Посчитав, получим, что $1=2$, а отняв $1$, найдем требуемое равенство: $0=1$.