Арифметические действия с числом 0

Всем с детства знакомо простое арифметическое правило $a:0=$невозможно. А доказательство такое: допустим $a:0=0$, следовательно если $a=x$, то чтобы узнать $x$ надо частное умножить на делитель, то есть $0*0$, что будет $0$, а ни $a$. Следовательно: $a:0=$ невозможно.

Но сам нуль-то делить можно... Ах, если бы! Допустим $0:a=0$, значит если $a=x$, то чтобы узнать $x$ надо делимое разделить на частное, то есть $0:0$, что будет снова $0$. Следовательно: $0:a=$ невозможно. Вот оно элементарное правило и вот оно элементарное опровержение!

С умножением тоже очень весело: Допустим $0*a=0$, значит если $a=x$, то чтобы узнать $x$ надо произведение разделить на известный множитель, то есть $0:0$, что будет... далеко ни $a$, а... правильно, $0$. А значит: $0*a=$ невозможно.

Из всего этого можно заключить, что 0 явно не натуральное число и вообще какое-то нитакое число, как ~~ (бесконечность).

Тем не менее...