Парадокс Кэрролла

Двухчастная инвенция Льюиса Кэрролла (другое название — «Что черепаха сказала Ахиллесу», What the Tortoise Said to Achilles) — логический парадокс в форме диалога, описанный Кэрроллом в 1895 году.

Содержание диалога

Логический диспут начинается, когда Ахиллес догоняет черепаху и садится на её спину. Рептилия предложила воину другое соревнование, логическое — «большинство людей ошибочно полагают, будто в этом состязании их отделяют от финиша лишь два-три шага». Далее черепаха предлагает три суждения:

• А — два объекта, равные одному и тому же, равны между собой.
• Б — две стороны данного треугольника равны одному и тому же.
• В — значит, две стороны данного треугольника равны между собой.

Следовательно, если некто признает верными суждения А и Б, то будет вынужден сказать, что В также верно. Но вполне может быть и другой читатель, который сочтёт утверждение В верным только в случае правдивости А и Б. Но вот существует ли человек, который считает А и Б правдой, но отказывается принимать условное суждение Г: «если A и Б истинны, то В истинно» и, как следствие, не верящий в верность В? Черепаха предлагает Ахиллесу принять её за такого читателя и доказать в истинности В.

Черепаха принимает суждение Г, но отказывается считать правдивым В. Тогда Ахиллес вводит суждение Д: «если А, Б и Г истинны, то В истинно», и упрямое животное соглашается, что это правда, однако до сих пор не признаёт верности В. Появляется новое условное суждение Е («Если A, Б, Г и Д истинны, то В должно быть истинным»).

Дальше рассказчика «вынуждают отлучиться дела в банке», но когда он вновь навещает героев, то узнаёт, что количество суждений перевалило за тысячу, и грек наконец-то сдаётся. Черепаха торжествует и читает стихотворение собственного сочинения:

«Ахиллесову пяту
Указуют все не ту.
Череп — ах! — трещит от дум:
У Ахилла хилый ум!»

Комментарии

Если разобраться во всех суждениях, записанных Ахиллесом в блокнот под диктовку черепахи, то получится, что все высказывания, кроме А и Б, принадлежат к метаязыку, который устанавливает, истинны или ложны суждения языка предметного (А и Б). Но эти утверждения не могут закончить цепочку, и все попытки Ахиллеса оказываются тщетны.

Проигрыш воина заключён в трёх допущенных им ошибках (вследствие плохих знаний классической логики). Во-первых, суждение Б — всего лишь частный случай А, следовательно суждение В надо формулировать «если A истинно, то В истинно». Также Ахиллес допускает, что некто может отрицать истинность транзитивности (суждение А), которая принимается без доказательств. Последним просчётом героя становится то, что он начинает строить выводы по суждению Г, так и не доказав истинности А (хоть это и очевидно, но противоречит логическим требованиям). Из-за этого Ахиллес впадает в бесконечную регрессию вместо того, чтобы просто доказать верность А, рассказав о началах Евклидовой геометрии.

Интересные факты

• В §38 своих «Математических начал» Бертран Рассел кратко рассматривает данный парадокс.
• Название отсылает к парадоксу Зенона, в котором Ахиллес не может догнать черепаху на дороге. В этой истории пресмыкающееся вновь побеждает, но уже силой логического ума.