Парадокс удвоения шара

Материал целиком и полностью слизан с этого сайта.

Парадо́кс удвое́ния ша́ра, (также называется парадо́ксом Ба́наха — Та́рского и парадоксом Хаусдорфа — Ба́наха — Та́рского— теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.

Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число (не обязательно связных) попарно непересекающихся частей, передвинуть их (при этом частям не запрещается "проходить друг сквозь друга", т.е. не требуется оставаться попарно непересекающимися во всех промежуточных положениях), и составить из них второе.

Более точно, два множества $A$ и $B$ являются равносоставленными, если их можно представить как конечное объединение непересекающихся подмножеств $A=\bigcup _{i}^{n}A_{i}$, $B=\bigcup _{i}^{n}B_{i}$ так, что для каждого $i$ подмножество $A_{i}$ конгруэнтно $B_{i}$.

Доказано, что для удвоения шара достаточно пяти частей, но четырёх недостаточно.

Верен также более сильный вариант парадокса:

Любые два ограниченных подмножества евклидова пространства с непустой внутренностью являются равносоставленными.

Ввиду того, что вывод этой теоремы может показаться неправдоподобным, она иногда используется как довод против принятия аксиомы выбора, которая существенно используется при построении такого разбиения. Принятие подходящей альтернативной аксиомы позволяет доказать невозможность указанного разбиения, не оставляя места для этого парадокса.

Следует заметить, что существование удвоения шара, хотя и кажется весьма подозрительным с точки зрения повседневной интуиции (в самом деле, нельзя же из одного апельсина сделать два при помощи одного только ножа), тем не менее не является парадоксом в логическом смысле этого слова, поскольку не приводит к логическому противоречию наподобие того, как к логическому противоречию приводит так называемый парадокс брадобрея или парадокс Рассела.